marți, 18 ianuarie 2011

MATEMATICA EGIPTENILOR

Egiptul

Civilizatia egipteana are, ca sic ea mesopotamiana ,o vechime de aproximativ sase milenii si,ca atare ,imparte cu aceasta din urma cinstea de a fi creat primele monumente de arhitectura din istoria omenirii.

Herodot scrie,referitor la calatoria sa prin Egipt,ca a intreprins aceasta anevoioasa deplasare ca sa viziteze “antichitatile” de la Giseh, piramidele si Sfinxul.

Dar piramidele si Sfinxul nu erau pe atunci de aceeasi varsta: o inscriptie hieroglifica privitoare la piramida cea mare precizeaza ca faraonul Keops(Khufu) a inaltat-o si ca in acelasi timp a restaurat un monument din “antichitate” si anume Sfinxul.Suntem asadar in fata unei antichitati cu 3 etaje.

Influentele primate de Egipt din partea imperiilor mesopotamiene nu au fost ,probabil , unilaterale;se pare ca si Egiptul a exercitat influente puternice ,in spatiile geografice inconjuratoare.Cunostintele stiintifice si tehnice ale egiptenilor au fost extreme de vaste si este aproape sigur ca ,in aceasta privinta ,egiptenii i-au intrecut cu mult pe sumerieni, pe akkadieni,pe asirieni ,pe caldeeni.

Ca si in Mesopotamia ,in Egipt solul este ses,in mare parte nisipos,iar pe malurile Nilului este malos,ceea ce a dus ,ca si in Mesopotamia,la o arhitectura de caramida sau chirpici,deci la punerea in proportie dupa principiul modular.
Acesta a creat in populatie un adevarat instinct al raporturilor numerice simple intre numere intregi.

Pentru edificiile 353h711d lor monumentale ,egiptenii aduceau de la distanta enorme blocuri uriase de piatra ,pe care le introduceau in opera dupa metode rafinate si savante de punere in proportie si folosind mijloace tehnice extreme de ingenioase .:La aceste edificii monumentale,raporturile simple ,modulare,nu erau complet abandonate,dar erau associate cu metode matematice de inalt nivel stiinfic.

Se stie azi ca acum cinci mii de ani egiptenii cunosteau numarul Π ,sectiunea de aur,sirul lui Fibonacci,foma si dimensiunile Pamantului,coordonatele sistemului solar.etc.

Pe o piatra provenita din templul din templul lui Ramses al II lea ,pastrata azi in Muzeul din Cairo ,se afla urmatoarea inscriptie hieroglifica “Templul acesta este ca Cerul in toate proportiile sale”.

La punerea in proportiile ,egiptenii foloseau cu precadere triunghiul dreptunghic cu laturile 3:4:5 (numit azi de noi” triunghiul lui Pitagora”,pe care il considerau “sacru “ pe care grecii il numeau triunghiul egiptean”),si precum indeosebi,”triunghiul piramidei”.

Triunghiul sacru poate fi identificat in traseele monumentelor egiptene antice,fie cu latura 3 orizontala si cu latura 4 verticala ,fie invers.

Ca produs subsidiary al triunghiului ,egiptenii foloseau si triunghiul dreptunghic cu catetele 4 si 5 asezat de asemenea cu cateta 4 orizontala si cu cateta 5 verticala sau invers.

Pentru a impaca metoda aritmetico –algebrica de punere in proportie cu cea geometrica (sau ,mai bine zis:metoda analitica cu cea grafica),egiptenii recurgeau la artificii,bazate pe aproximari foarte mici,theoretic neglijabile si practice imperceptibile.

Un exemplu este triunghiul dreptunghic cu catetele 4 si 7 ,imprumutat de catre persi la egipteni .

Alt exemplu este triunghiul dreptunghic cu catetele 7 si 12,a carui ipotenuza are valoarea

√7² + 12² = √49 + 144 = √193=13,9.

Pentru ca acest triunghi dreptunghic sa fie jumatatea unui triunghi echilateral ,ar trebui ca ipotenuza sa fie dublul catetei mici adicsa 2 x 7= 14.

Eroarea de 14,0 – 13,9 =0,1 reprezinta numai 0,7%.In sfarsit ,un al treilea exemplu este tringhiul dreptunghic cu catetele 4 si 5 ,a carui ipotenuza are valoarea √4²+5²= 16 +25=

√41=6,4.

Pentru ca acest triunghi dreptunghic sa fie identic cu tringhiul piramidei ,ar trebui ca , pentru cateta mica egala cu 4 ,cateta mare sa aiba valoarea 4√s = 5,01.

Eroarea de 5,01 – 5,00 = 0,01 reprezinta numa cca. 0,2 %.Toate aceste erori – desigur voite , constiente,admise exclusiv pentru a inlesni aplicarea practica a punerii in proportie – se situeaza cu mult sub limitele uzuale in constructii,chiar sub cele ,mult mai restranse ,din vremea noastra.

Din trasare ,din prelucrarea si punerea in opera a materialelor,din deformarile produse de tasare,uscare,priza,etc,rezulta in practica erori mai mari.

Pentru impartirea unei lungimi dupa sectiunea de aur,egiptenii recurgeau la asemenea o metoda de aproximare in numere intregi,anume :imparteau lungimea in n segmente egale , n fiind un termen al sirului lui Fibonacci,apoi il separau in cele doua segmente corespunzatoare celor doi termini precedenti.Pentru ca eroarea sa fie cat mai mica, trebuie pornit de la un termen cat mai mare al sirului.De pilda : daca impartim segmental in 8 parti egale,si il separam in 5 +3 ,raportul 5/3 se apropie de valoarea s cu o eroare de cca. 5 %; daca insa il impartim in 13 parti egale,in raportul 8/5 eroarea scade la 2 % ,in raportul 21/13 eroarea este de numai 0,3 % s.a.m.d.

Dintre exemplele din aliniatul precedent ,unul se refera la triunghiul numit”al piramidei” , pentru ca el acopera semi-sectiunea meridiana a piramidei lui Keops.Faptul ca in acest triunghi intervine numarul s este o dovada ca vechii egipteni cunosteau sectiunea de aur , cu cel putin trei milenii inaintea noastra.De altfel ,numarul s nu este unica surpriza pe care piramida lui Keops a facut-o cercetatorilor moderni si contemporani.In acest monument sunt inregistrate numeroase date geografice,geodezice,matematice, astronomice,etc. cu o precizie uluitoare. Unele dintre ele au fost conformate sau chiar descoperite de stiinta moderna abia in secolul al XX-lea.e.n.! Iar felul in care toate aceste date sunt inscrise ,imbinate,intretesuite,correlate,reprezinta cea mai inalta expresie a incadrarii unei opere de arhitectura –deci a unui obiect creat de mana omului-in armonia universala.

Nu insistam asupra faptului ca amplasarea piramidei dovedeste o cunboastere perfecta a geografiei intregii planete(atat axa N-S a bazei monumentului ,cat si axa ei E-V ,se confrunta cu meridianul si respective paralela la care parcurg cel mia mult uscat ,celalalt punct al lor de intersectie fiind practice nesemnificativ,caci este situate in largul Pacificului; prelungirile diagonalelor bazei incadreaza tangent delta Nilului,iar axa N-S o imparte in doua jumatati strict echivalente;etc)si renuntam sa ne intrebam de unde stiau egiptenii configuratia globala a intregului glob terestru.

Mentionam ca unitatea de lungime uzuala in Egiptul antic era,pentru popor ,cotul comun (care pana in dinastia a XXVI-a avea cca.450 mm,fiind numit ulterior si cotul mic,iar dupa dinastia a XXVI-a cca 520 mm,fiind numit si cotul regal),iar pentru “initiati” cotul sacru ,de 635,66mm.Cotul sacru este dat de dimensiunile “sarcofagului” din “camera regelui” din piramida lui Keops : un sarcofac care insa nu continea nici o mumie.

Nu este greu de observat ca acest cot sacru,cunoscut si utilizat numai de initiati ,in frunte cu faraonul si cu marele-preot ,este un submultiplu zecimal al razei polare a Pamantului.

Asadar egiptenii din vechime cunosteau dimensiunilke Pamantului si practicau sistemul zecimal.Rezulta ca 1 cot sacru = raza polara / 107 si 1 m = 0,25 meridian /107 ,deco 1 cot sacru = 2m/Π.

Submultiplul cotului sacru era degetul sacru: 1 cot sacru avea 25 degete,deci un deget sacru 25,4 mm,valoare foarte apropiata de totul modern.

Perimetrul patratului de baza al Piramidei este de 36524 degete sacre, iar suma diagonalelor acestui patrat este de 25826,5422 degete sacre.Perimetrul exprimat in degete sacre este asadar un multiplu zecimal al numarului de zile continute in anul tropic., iar suma diagonalelor exprimata in degete sacre este egala cu durata in ani tropici ,a ciclului precesional.

Este vorba de doua miscari ale Pamantului (revolutia in jurul Soarelui si miscarea care produce precesia echinoctiilor),ambele fiind exprimate prin elememte ale patratului de baza al Piramidei (perimetrul si suma diagonalelor),asa incat nu e de mirare ca patratul simbolizeaza in tot Orientul antic,apropiat sau indepartat ,Pamantul.

Inaltimea piramidei (149,5 m) este un submultiplu zecimal al distantei medii de la Pamant la Soare ,Pamantul parcurge in 24 ore,pe orbita sa ,o distanta de 1011 degete sacre,dceci un multiplu zecimal al degetului sacru.

Produsul dintre volumul Piramidei si greutatea volumetrica medie a materialelor din care este construita reprezinta densitatea Piramidei,care este egala cu densitatea Pamantului : 5,52 ;deci greutatea Piramidei (Gp)este un submultiplu zecimal al greutatii Terrei (GT):

10 15 Gp=Gt.

Galeria descendenta a Piramidei este orientate catre N,dar axa ei nu indica précis steaua polara.Se stie insa ca polul Nordic ceresc nu este fix,ci descrie un cerc in jurul axei lumii.

Unii cercetatori sustin ca ,prin masurarea unghiului format de axa galeriei descendente cu directia actuala a N astronomic,se poate data Piramida., si au datat-o,in secolul XXII lea

i.e.n .Raportul dintre seimperimetrul bazei (465,61 m) si inaltimea Piramidei (148,21m) ,este egal cu Π ( cu 4 cire zecimale corecte).Arhimede a calculate numarul Π(fara sa aiba cunostinta de revelatiei Piramidei lui Keops)si a gasit valoarea 3,1428;egiptenii cu doua milenii inaintea lui Arhimede ,cunosteau asadar mai exact valoarea acestui numar transcendent. Totodata este de remarcat faptul ca Piramida are panta fetelor sale exterioare in as fel incat lungimea M a muchiei dintre doua fete este egala aproape exact ,cu o data si jumatate inaltimea H a Piramidei:M=3H/2 (eroarea fiind de numai cca 0,1%).

Mai exista si numeroase alte date interesante inscrise in chip ingenios in “encyclopedia de piatra”(Piramida).De asemenea ,intregul ansamblu de la Giseh- piramida lui Keops ,piramida lui Kefren,piramida lui Mikerinos ,Sfinxul –este amplasat si pus in proportie dupa regului geometrice precise.

Elementul predominant la punerea in proportie a edificiilor egiptene antice monumentale este “triunghiul piramidei”.Acest triunghi .,in care misteriosul numar s,apare intr-o forma inca mia absconsa.si mai rafinata adica in forma √s,se regaseste aproape pretutindeni.

Un exemplu concludent este uriasa sala hipostila a templului lui Amon- Ra ,de la Karnak,unde raportul 1:√s apare atat la coloanele navei centrale,cat si la coloanele mai mici ,ale navelor colaterale,incat triangulatia reproduce in mod obsedant profilul piramidei lui Keops.Chiar si la edificiile monumentale de importanta secundara raportul 1:√s este nelipsit ,ca de exemplu la monumental funerar pyramidal de la Abydos,datand din Imperiul de Mijloc ,unde,in afara de √s ,il mai intalnim si pe √5,care este tot o ruda apropiata a numarului s,deoarece √5=s+ (1/s).

UN alt factor ,care a contribuit in larga masura la punerea in proportie a monumentelor egiptene antice a fost predilectia ,extreme de dezvoltata la vechii egipteni,pentru simetrie.

Toate edificiile lor monumentale sunt perfect simetrice,atat in ceea ce priveste compozitia lor arhitecturala,cat si decoratia lor.Ansamblurile arhitecturale sunt de asemenea simetrice.Chiar si atunci cand configuratia terenului a impus unele mici abateri inevitabile de la o simetrie absoluta,vechii egipteni s-au priceput sa le corecteze prin ingenioase artificii,asa impresia de ansamblu sa ramana aceea de simetrie.

Artificiile de corectare mergeau pana la detalii,astfel,de pilda,cele doua obeliscuri asezate simetric,de o parte si de alta a intrarii templului de la Luxor,pentru ca printr-un effect de perspective ,sa para egal cu cel mare.

De altfel,vechii egipteni cunosteau si celelalte artificii menite sa corecteze deformarile optice,asa incat monumental sau ansamblul sa apara ochiului ca fiind lipsit de orice del de deformare ,ca de exemplu:

-inclinarea coloanelor de colt,pentru ca sa para ca sunt verticale.

-curbura de gradul II sau chiar de gradul III data in mod voit unor linii theoretic drepte,tocmai pentru ca sa para cu adevarat drepte, forma de trapez a unor curti sau a unor sali mai mari pentru ca sa aiba effect dreptunghiulare,etc.

Toate aceste artificii au fost cunoscute si folosite de catre vechii egipteni cu o rara maiestrie care nu avea sa fie intrecuta dupa ei decat de catre grecii epocii clasice.

si romanii sunt buni la matematica

Matematica si invatamantul matematic in Romania intre 1918 si 1949

23895tiz91cxs8x

In anul 1918, cand un ministru al invatamantului era profesorul universitar de geografie Simion Mehedinti, s-au elaborat si pus in aplicare cateva legi, menite in special sa schimbe „scoala poporului”, denumire prin care se intelegea pe atunci scoala primara si invatamantul normal (scolile de invatatori). Viitorii invatatori si profesori urmau sa fie selectionati dupa criterii de vocatie, dintre cei care urmau „scolile pregatitoare si seminariile normale”. Prin legile amintite se intentiona in special sa se ridice „scoala poporului”, ajungandu-se pana la un fel de „universitate taraneasca”. Toate aceste proiecte au fost insa abandonate dupa scurt timp. In 1919, apoi in 1924, 1928,1932, 1934, 1936 si 1937 au fost facute modificari esentiale in domeniul invatamantului de toate gradele.

Invatamantul primar a suportat modificari prin legea din 24 iulie 1924 (acestei legi i s-au adus modificari in anul 1937 si 1937).

Invatamantul secundar a fost modificat esential prin legea din 8 mai 1928. conform acestei legi, in invatamantul secundar intrau: invatamantul secundar teoretic (gimnazii si licee teoretice); invatamantul normal (pentru format invatatori); seminariile teologice; invatamantul industrial, organizat prin legea din 1936, care cuprindea gimnazii industriale, licee industriale si scoli speciale industriale; invatamantul comercial, organizat tot prin legea din 1936, care cuprindea gimnazii si licee industriale; invatamantul agricol, cu scoli agricole de gradul I si II si scoli de economie casnica de gradul I si II pentru fete, dependente de Ministerul Agriculturii si Domeniilor; invatamantul militar, care cuprindea licee militare cu opt ani de studii, dar cu educatie militara supravegheata de Ministerul Apararii Nationale.

In sfarsit, invatamantul superior (universitar) a fost restructurat prin legea pentru organizarea invatamantului universitar din 22 aprilie 1932, care a suferit unele modificari in 1938 si 1942. Dupa legea din 1932, invatamantul superior cuprindea: a) universitati la Bucuresti, Iasi, Cluj, Cernauti; b) scoli politehnice la Bucuresti si Timisoara; c) academia de arhitectura la Bucuresti; d) academii de arte frumoase la Bucuresti si Iasi; e) academii de muzica si arta dramatica la Bucuresti, Iasi, Cluj si Cernauti; f) institutul de educatie fizica la Bucuresti; g) academii de inalte studii comerciale si industriale la Bucuresti si Cluj; h) academii de agronomie la Bucuresti si Cluj; i) scoli militare si scoala superioara de razboi, dependente de Ministerul Apararii Nationale.

Pentru scopurile urmarite in prezenta lucrare, in ce priveste invatamantul matematic, ne intereseaza in special invatamantul secundar teoretic si cel universitar (superior). Din invatamantul secundar teoretic se recrutau viitorii studenti in matematici sau pentru inginerie.

Prin legea din 1928, invatamantul secundar teoretic era organizat in doua trepte, independente una de alta. Treapta inferioara era numita gimnaziu si cuprindea patru ani de studii, iar treapta superioara, numita liceu, cuprindea tot patru ani de studii, cu deosebirea ca aici, pe langa elementele de cultura generala, elevii primeau si o bursa de specializare. Din nefericire insa, specializarea urma a se face in ultimul an al liceului, intr-o sectie literara si una stiintifica. Ulterior s-a introdus o modificare privind aceasta specializare, impartirea in directia literara si in cea stiintifica facandu-se in ultimii doi ani ai liceului. O data cu introducerea acestor doi ani de specializare, s-a redus si invatamantul secundar de la opt ani, la sapte ani, iar cursul gimnazial la trei ani, in loc de patru.

Precum se stie, legea invatamantului din 1928 a constituit o grava lovitura, deoarece prin legea aceasta sectia reala din liceu a disparut. Matematicile nu se mai puteau face ca inainte. La „Gazeta matematica” numarul corespondentilor se reducea an de an. Concursurile din vacanta de primavara, care alta data erau adevarate competitii pentru elevii corespondenti ai „Gazetei matematice”, au disparut cativa ani la rand, dupa 1930. Cand au reinceput aceste concursuri, premiantii „Gazetei matematice” erau numai de la liceele militare, in care pastrase sectia reala, cum era in liceele civile pe vremea lui Haret. Ici acolo se ivea ti cate un candidat merituos si de la liceele civile, daca se intampla sa aiba un profesor bun de matematici. Marele nostru matematician Gheorghe Titeica atragea atentia in fiecare an, in rapoartele pe care le publica in „Gazeta matematica”, ca si in cele trimise direct la Ministerul Educatiei Nationale, asupra tragediei ce rezulta pentru matematici si invatamantul matematic, prin reducerea materiei predate in liceele civile la matematici.

Ceea ce se preda inainte de 1928 in domeniul matematicii in patru ani te sectie reala nu se mai putea asimila numai in doi ani de sectie stiintifica, cu asa-zisa specializare. Conducerea de atunci a revistei „Gazeta matematica” a considerat ca este necesara stimularea interesului pentru matematici la generatiile tinere, infiintand in acest scop un „Supliment cu exercitii”. Cu incepere de la 1 octombrie 1934, suplimentul a aparut in noua numere pe an, pana la incetarea aparitiei „Gazetei matematice”, in mai 1949. La acest „Supliment cu exercitii”, cu un nivel mai redus, bineinteles, decat gazeta insasi, au putut sa colaboreze si elevii din liceele civile, incepand cu cei din clasa a III-a, pana la cei din clasa a VIII-a stiintifica.

O revista de matematici cu nivel asemanator „Gazetei matematice”, a fost si „Revista matematica din Timisoara”, infiintata de Traian Lalescu in 1920. Unul dintre animatorii sai mai importanti a fost profesorul universitar Victor Alaci de la Politehnica din Timisoara. Revista si-a incetat aparitia in 1949.

Trecand la o scurta infatisare a structurii invatamantului universitar, trebuie sa precizam ca in intervalul din martie 1898, cand apare Legea asupra invatamantului secundar si superior a lui Haret si pana in aprilie 1932, cand apare legea de organizarea invatamantului universitar, structura invatamantului superior a suferit unele usoare modificari, prin legea lui C.C. Arion (ministrul instructiunii publice) din 1912 (ramasa in vigoare pana in 1932). Aceasta lege din 1932 prevedea infiintarea de noi catedre la universitatile din Bucuresti si Iasi si largea autonomia universitara.

Dupa legea invatamantului superior din 1932, la facultatile de stiinte ale universitatilor din Bucuresti Iasi si Cluj existau, pentru invatamantul matematicii, urmatoarele sapte catedre: 1) algebra superioara si teoria numerelor; 2) calculul diferential si integral; 3)astronomie si mecanica cereasca; 4) geometrie analitica si superioara; 5) geometrie descriptiva si aplicatii (la Iasi geometrie descriptiva si proiectiva); 6) mecanica rationala si experimentala; 7) teoria functiilor.

Studentii in matematici intre anii 1898 si 1948, de la facultatea de stiinte, sectia de matematica, obtineau la sfarsitul studiilor universitare cu durata de trei ani, o diploma de licentiat in matematici, daca aveau trecute toate examenele de specialitate (legate de catedrele aratate mai sus si de conferintele si laboratoarele in completare). Li se cerea in plus sa fi trecut cu succes un examen pentru un curs special de fizica, un altul de metodologie matematica si, in sfarsit, unul de pedagogie.

Structura invatamantului mediu si superior din tara noastra a ramas asa cum s-a prezentat mai sus, pana in 1948. La aceasta data invatamantul de toate gradele a fost completat si restructurat.

In prima jumatate a secolului XX in Romania apare o scoala matematica cu matematicieni valorosi. Pe langa cei trei initiatori si creatori de frunte, Gh. Titeica, D. Pompeiu si T. Lalescu, in scoala matematica romana se inscriu drept creatori, cronologic, urmatorii: Constantin C. Popovici, Alexandru Myller, Theodor Angheluta, Niculae Abramescu, Victor Valcovici, Aurel Anghelescu, Simion Stoilow, Octav Onicescu, Petre Sergescu, Dan Barbilian, Octav Mayer, Alexandru Pantazi, Florin Vasilescu, Mihai Ghermanescu, Gheorghe Vranceanu, Dumitru V. Ionescu, George Calugarenu, Alexandru Ghika, Nicolae Cioranescu, Miron Niculescu, Grigore Moisil, Gheorghe Mihoc, Tiberiu Popoviciu, Nicolae Teodorescu, Caius Iacob.

Reviste de matematici superioare tiparite in Romania intre ultima decada a secolului al IX-lea si prima jumatate a secolului al XX-lea.

23895tiz91cxs8x

Toata opera de cercetare matematica romaneasca a aparut intr-un numar important de reviste periodice de matematici sau stiinte straine, incepand cu „Comptes rendus des seances de l’Academie des Sciences de Paris” si mergand pana la „Tohoku Journal” din Japonia. „Comptes rendus” din Paris a detinut insa recordul. Redam mai jos, grupate in ordine cronologica a aparitiei, publicatii din perioada la care ne referim:

Buletinul societatii amicii sciintelor matematice, Bucuresti 1895-1986;
Bulletin de la section scientifique de l’Academie roumaine, 1866-1946 23895tiz91cxs8x ;
Bulletin de la Societe roumaine des Sciences, 1897-1947;
Annales scientifiques de l’Universite de Iassy, 1900-1948 publicand in special operele matematice ale Cercului matematic din Iasi. Dupa 1956 reapare cu acelasi titlu;
Buletinul Societatii de stiinte din Cluj, 1922-1948;
Buletinul Asociatiei de matematica pura si aplicata, Bucuresti 1922-1924;
Mathematica, Cluj 1929-1948. In 1959 reapare tot la Cluj dupa ce a fost mutat sediul la Timisoara;
Buletinul Facultatii de stiinte din Cernauti, 1927-1939;
Bulletin scientifique de l’Ecole Plytechnique de Timisoara, 1928-1946. In 1948 s-a transformat in „Bulletin de sciencee et technique de la Polytechnique de Timisoara” si si-a incetat aparitia in 1949:
Bulletin de mathematique et de physique pures et appliquetees de l’Ecole Polytechnique de Bucarest, 1930-1948 23895tiz91cxs8x ;
Buletinul sedintelor, Societatea romana de stiinte, Bucuresti 1933-1938;
Compes rendus des seances de l’Academie des Sciences de Roumanie, 1936-1943, organ al Academiei de stiinte din Romania care a aparut in 1936;
Buletinul Academiei de stiinte din Romania, 1936-1947;
Disquisitiones mathemateticae et physicae, ca publicatie a Institutului de cercetari stiintifice, a aparut in 1940 pana in 1948:
Buletinul Politehnicii „Gh. Asachi” din Iasi1946-1948. Dupa 1948 s-a contopit cu „Buletinul Universitatii din Iasi;
Acta Boyai. Contribution from the Faculty of Sciences of the Boyai University, the University of Romania, Cluj 1946-1947;

Acestea fiind publicatii pentru matematici superioare (pentru cercetarile matematice), sa nu se uite si revistele de matematici elementare si superioare, care au contribuit mult la progresul invatamantului nostru matematic. Dintre aceste publicatii trebuie amintite in primul rand „Gazeta matematica” cu „Suplimentul cu exercitii al gazetei matematice” si „Revista matematica din Timisoara”.

Sa mai amintim revista „Numerus”, editata de Neculai Raclis. Revista a aparut in 1935 pana in 1944. Era o revista dedicata in special elevilor de liceu, de la sectia stiintifica, iar „Revista universitara de matematici” editata tot de Neculai Raclis era in special destinata studentilor si profesorilor de matematici din invatamantul secundar.

Ca reviste de matematici elementare, care au avut o perioada de existenta efemera, se pot mentiona: Gazeta matematica din Constanta, 1923-1925; Jurnalul matematic al lui Tiberiu Popoviciu, Arad si Bucuresti 1924-1925; Curierul matematic, Bucuresti 1925-1928; Stiinta si progres, revista stiintifica a liceelor militare, aparuta in 1934 pana in 1945 in Targul Mures si Timisoara; Pitagora, Craiova 1935-1940; Pozitiva, Bucuresti 1941-1944; Cercul matematic, Bucuresti 1945-1946. Alte reviste de matematici au avut o viata de numai un an sau de numai cateva numere. Majoritatea revistelor citate au avut ca tel sa contribuie la avantul invatamantului matematic in scolile secundare.

23895tiz91cxs8x

Matematicieni Romani din prima jumatate a secolului al XX-lea

23895tiz91cxs8x

Trecem acum la prezentarea unor aspecte din viata si opera catorva matematicieni de frunte, care au activat in prima jumatate a secolului al XX-lea.

23895tiz91cxs8x

Constantin C. Popovici (1878-1956)

23895tiz91cxs8x

Nascut la Iasi la 12/24 martie 1878, fiu al functionarului Constantin Popovici si al sotiei sale Marta, a facut scoala primara si liceul in orasul natal. Dupa terminarea liceului s-a inscris la facultatea de stiinte a Universitatii iesene, luandu-si aici licenta in matematici in anul 1900.

In anii 1900-1901, a peregrinat ca profesor suplinitor de matematici la liceele din Iasi, Barlad, Braila si Tulcea. In urma trecerii examenului de capacitate din 1901 pentru invatamantul secundar, a fost numit profesor de matematici la liceul din Turnu Severin. Dar si de aici a fost transferat la liceele din Tulcea si Galati. Intre timp a obtinut o bursa „Adamachi” pentru studii in strainatate, pleaca la Paris, unde obtine din nou licenta in matematici, in anul 1905. Ramane la Paris pentru pregatirea doctoratului in matematici pe care-l trece la Sorbona, in martie 1908.

A inceput sa elaboreze memorii de matematici chiar din 1904, adica cu mult inaintea tezei de doctorat. Teza sa de doctorat a avut ca subiect analiza matematica, care a fost dezvoltarea unor idei intr-un articol publicat in 1908 in jurnalul lui Liouville.

Dupa trecerea doctoratului se intoarce in tara si functioneaza pentru scurt timp ca profesor suplinitor la Scoala de poduri si sosele din Bucuresti. In 1909 trece conferentiar universitar si profesor suplinitor la catedra de geometrie analitica la universitatea din Iasi. In acelasi an, 1909, isi trece si docenta la Universitatea ieseana. Nu sta mult aici si este trimis in Franta pentru specializare in astronomie. In acest scop, in anul 1910, trece ca stagiar la Observatorul astronomic din Paris, apoi la Observatorul central si la cel din Mont-Souris.

Dupa specializare se intoarce in tara, unde este numit profesor agregat de astronomie, geodezie si mecanica cereasca la Universitatea din Iasi (1911-1914). Dupa 1914 a fost titularizat la aceasta catedra unde a predat pana in 1937. Din acel an trece titular al catedrei de astronomie de la Facultatea de stiinte din Bucuresti pana in 1940, fiind numit si director al Observatorului astronomic din capitala.

Cu toata varsta inaintata, C. Popovici a scris continuu memorii de analiza matematica si mecanica cereasca, pana in 1953.

A decedat in Bucuresti, la 26 noiembrie 1956; a fost inmormantat la cimitirul Belu.

Urmarind-i activitate stiintifica, s-a remarcat ca, desi era profesor de astronomie si mecanica creasca, lucrarile sale abordeaza cu precadere domeniul analizei matematice. Lucrarile din domeniul analizei privesc ecuatiile integrale, ecuatiile integro-diferentiale si ecuatiile integro- functionale, ecuatiile diferential-functionale sau ecuatiile functionale.

In perioada vietii a publicat memorii de matematici pure sau aplicate in peste 100 de publicatii.

Theodor Angheluta (1882-1964)

23895tiz91cxs8x

S-a nascut in satul Adam din fostul judet Tutova la 28 aprilie 1882. Scoala primara si liceul le-a urmat la Barlad. A inceput sa colaboreze la „Gazeta matematica inca din liceu. A urmat cursurile Facultatii de stiinte a Universitatii din Bucuresti, sectia matematici, unde si-a luat licenta in matematici in 1905. In perioada 1905-1909 a functionat in invatamantul secundar. Intre anii 1910 si 1914 a urmat din nou matematicile in Franta la Sorbona unde l-a avut, printre altii, ca profesor pe Emile Picard. Angheluta se reintoarce in tara in 1914 datorita izbucnirii primului razboi mondial, unde functioneaza iarasi in invatamantul secundar. In 1919 este numit conferentiar la Universitatea din Bucuresti, la Facultatea de stiinte, sectia matematici. In acelasi timp a fost numit suplinitor la catedra de algebra si teoria numerelor, deoarece Lalescu a fost trimis la Paris. Doctoratul si-l trece la 16 iunie 1922 la Universitatea din Bucuresti cu subiectul O clasa generala de polinoame trigonometrice si aproximarea cu care ele reprezinta o functie continua care abordeaza un subiect din teoria seriilor trigonometrice. In anul 1923 este numit profesor titular definitiv la Universitatea din Cluj, la catedra de algebra superioara, pana la scoaterea la pensie la 1 septembrie 1947. Intre anii 1930 si 1931 a fost decan al Facultatii de stiinte din Cluj, iar in anumiti ani, profesor suplinitor de mecanica sau teoria functiilor. Desi era la pensie, in 1950 a fost solicitat sa revina ca profesor la Facultatea de matematica si fizica a Universitatii „V. Babes” din Cluj, unde a functionat pana in septembrie 1955. La 1 octombrie 1955 a fost numit profesor la Institutul politehnic din Cluj. In aceasta calitate a functionat pana in anul 1962.

La 30 mai 1964 a decedat in Cluj.

Theodor Angheluta a fost un excelent profesor si pedagog, avea o fire potolita, delicata, manifestand mult devotament pentru stiinta. Prelegerile sale erau pline de fantezie investigativa. Lectiile sale erau urmarite cu placere. Nu se putea sa nu admiri o conferinta din care rezultau usor, precis si riguros, legile matematice si mai ales frumusetea acestor legi.

Angheluta a publicat in diferite reviste de specialitate din tara si strainatate, memorii originale de matematici si o serie de articole tratand probleme de matematici elementare sau superioare in „Gazeta matematica” sau „Revista matematica din Timisoara.

23895tiz91cxs8x

Aurel Angelescu (1886-1938)

23895tiz91cxs8x

S-a nascut la Ploiesti, la data de 15 aprilie 1886, unde a facut cursul primar si liceul „Sfintii Petru si Pavel”. Chiar din cursul inferior a dovedit stralucite aptitudini pentru matematici. Revista „Gazeta matematica” i-a desavarsit apoi, in cursul liceului, gustul pentru studiul matematicii. A fost un corespondent asiduu al acestei publicatii.

In ultima clasa de liceu l-a avut ca profesor pe Niculae Abramescu, care isi incepea pe atunci cariera sa didactica. Abramescu s-a mandrit totdeauna ca in prima lui serie de liceeni l-a avut ca elev pe Aurel Angelescu, care, ulterior, intrecandu-si maestrul, si-a trecut doctoratul in matematici cu cativa ani inaintea lui Abramescu.

Licenta in matematici si-a luat-o in Franta la Sorbona, iar pe 7 aprilie 1916 si-a trecut doctoratul cu o teza avand ca subiect: Sur les polynomes generalisant les polznomes de Legendre et d’Hermite et sur le calcul approche des integrales multiples. Subiectul i-a fost inspirat de lucrarile lui Paul Appell, privind polinoamele lui Hermite. De altfel, Paul Appell a fost maestrul preferat al lui Angelescu la Paris; el a facut parte si din comisia care a examinat teza de doctorat a lui Anghelescu. Mai tarziu cand Paul Appell a scos tratatul intitulat Fonctions hyperspheriques. Polznomes d’Hermite, el a citat atat din teza de doctorat a lui Angelescu, cat si din alte memorii ale acestuia privind polinoamele lui Hermite.

Dupa doctorat e intoarce in tara si la propunerea profesorului Titeica este numit, cu incepere de la 1 noiembrie 1919, profesor agregat de teoria functiilor la Facultatea de stiinte a Universitatii in Cluj, catedra la care a fost titularizat in 1922. aici a functionat pana in anul 1930.

Angelescu impreuna cu Gh. Bratu si cu N. Abramescu iar mai tarziu P. Sergescu au pus multa ravna si multa munca pentru organizarea invatamantului atematic romanesc. Ei au redactat toate cursurile necesare studentilor, in special cursuri de initiere. Ngelescu a redactat Lectiile de calcul diferential editat in 1927. A sprijinit n 1929 aparitia revistei „Mathematica”, o revista de inalta tinuta stiintifica.

Intre 1927-1928 a fost decan al Facultatii de stiinte. In 1930 a fost chemat ca profesor titular de algebra superioara si teoria numerelor la Facultatea de stiinte a Universitatii din Bucuresti ca succesor al lui Lalescu. La aceasta catedra a predat pana la deces.

In creatia matematica romaneasca, Aurel Angelescu, ca matematician, a fost un om talentat avand si o rara distinctie sufleteasca. Totodata el a fost lipsit de noroc, caci cu toate rarele si multiplele sale calitati superioare. O drama muta, intima, l-a facut sa-si curme firul vietii la varsta de 52 de ani, la 6 aprilie 1938. nu a lasat nimic in care sa explice celor care l-au indragit ce l-a determinat sa faca acest gest. Se pare ca o fiinta apropiata i-a pricinuit o mare deziluzie.

In timpul vietii a publicat peste 50 de lucrari didactice si memorii in tara si strainatate.

Simion Stoilow (1887-1961)

23895tiz91cxs8x

Ca fiu al colonelului Stoilow din Craiova, Simion Stoilow s-a nascut in Bucuresti la data de 2/14 septembrie 1887. Studiile universitare le-a facut la Sorbona. Dupa absolvirea liceului din Craiova, a plecat in 1907 la Paris, cu gandul sa se faca inginer. Dar s-a inscris la Facultatea de stiinte, unde a fost student al lui Emile Picard, Henri Lebesgue, Emile Borel, Edouard Gourst si Jacques Hadamard. Si-a luat licenta in matematici la Sorbona in 1910. Doctoratul in matematici l-a trecut in iunie 1916, desi teza era gata din 1914. In perioada primului razboi mondial a fost concentrat ca ofiter in tara.

Subiectul tezei de doctorat este din domeniul ecuatiilor cu derivate partiale si are ca titlu: Sur une classe de fonctions de deux variables definies par les equations lineares aux derivees partieles. In teza lui Stoilow trateaza problema singularitatilor ecuatiilor liniare cu derivate partiale de ordinul n.

Simion Stoilow si-a inceput activitatea stiintifica publicand memorii privind ecuatiile liniare cu derivate partiale si functiile care satisfac aceste ecuatii, apoi lucrari privind teoria multimilor si s-a fixat, in plina maturitate stiintifica, intr-un domeniu matematic nou, domeniul topologiei. El a fost primul roman care a facut descoperiri referitoare la o ramura noua a matematicii pure, Teoria topologica a functiilor analitice.

Dupa doctorat Stoilow se intoarce in tara si participa ca ofiter de geniu la razboiul din 1916-1918, la inceput in Dobrogea, apoi in Moldova. Pentru scurt timp, in 1919 suplineste pe Lalescu la Scoala de poduri si sosele, la catedra de geometrie analitica. In iunie 1919isi trece docenta in analiza matematica la Universitatea din Iasi, facultatea de stiinte, unde a tinut un curs special de functii discontinue, iar in ianuarie 1920 a fost numit conferentiar de algebra superioara la aceeasi facultate, unde a functionat pana in 12 decembrie 1921.

Este trecut, la aceasta data, conferentiar de analiza superioara la Universitatea din Cernauti, Facultatea de stiinte. De mentionat ca Universitatea; pana la venirea lui Stoilow nu a mai avut profesor de matematici. Intre anii 1925-1926 si 1932-1939 a fost decan al Facultatii de stiinte.

In 1939 a trecut ca profesor de analiza la Politehnica din Bucuresti (1939-1941), ca succesor al lui Titeica, iar de aici trece in decembrie 1941 la Universitate din Bucuresti, la catedra de teorie a functiilor, ca succesor al lui D.Pompeiu. unde a activat pana in anul 1961. Din februarie a acelui an a renuntat la catedra, ramanand profesor onorific al Universitatii din Bucuresti.

A participat ca invitat la conferinte si simpozioane in tara si strainatate (Italia, Franta, Rusia, Poonia, Austria, Norvegia).

In anii 1946-1948 a fost ambasador al Romaniei in Franta, rector al Universitatii din Bucuresti 1944-1945, precum si decan al Facultatii de matematica si fizica din Bucuresti in anii 1948-1951.

A publicat peste 100 de memorii de matematici.

matematica pe intelesul tuturor: prima lectie de matematica

Matematică

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Salt la: Navigare, căutare

	Portal Matematică

Euclid, matematician grec, secolul 3 î.Hr., cum e imaginat de către Rafael într-un detaliu al lucrării „Şcoala ateniană”

Matematica este în general definită ca ştiinţa ce studiază relaţiile cantitative, modelele de structură, schimbare şi spaţiu. În sens modern, matematica este investigarea structurilor abstracte definite în mod axiomatic folosind logica formală.

Structurile anume investigate de matematică îşi au deseori rădăcinile în ştiinţele naturale, cel mai ades în fizică. Matematica defineşte şi investighează şi structuri şi teorii proprii, în special pentru a sintetiza şi unifica multiple câmpuri matematice sub o teorie unică, o metodă ce facilitează în general metode generice de calcul. Ocazional, matematicienii studiază unele domenii ale matematicii strict pentru interesul abstract exercitat de acestea, ceea ce le transformă într-o abordare mai degrabă legată de artă decât de ştiinţă.

Din punct de vedere istoric, ramurile majore ale matematicii au derivat din necesitatea de a face calcule comerciale, de a măsura terenuri şi de a predetermina evenimente astronomice cu scopuri agriculturale. Aceste domenii specifice pot fi folosite pentru a delimita în mod generic tendinţele matematicii până în ziua de astăzi, în sensul delimitării a trei tendinţe specifice: studiul structurii, spaţiului şi al schimbărilor.

Studiul structurii se bazează în mod generic pe teoria numerelor: iniţial studiul numerelor naturale, numere pare, numere impare apoi numere întregi, continuând cu numere raţionale şi în sfârşit numere reale, întotdeauna corelate cu operaţiile aritmetice între acestea, toate acestea făcând parte din algebra elementară. Investigarea în profunzime a acestor teorii şi abstractizarea lor a dus în final la algebra abstractă care studiază printre altele inele şi corpuri, structuri care generalizează proprietăţile numerelor în sensul obişnuit. Conceptul indispensabil în fizică de vector, generalizat în sensul de spaţiu vectorial şi studiat în algebra lineară este comun studiului structurii şi studiului spaţiului.

Studiul spaţiului porneşte în mod natural de la geometrie, începând de la geometria euclidiană şi trigonometria familiară în trei dimensiuni şi generalizată apoi la geometrie neeuclidiană, care joacă un rol esenţial în teoria relativităţii. O mulţime de teorii legate de posibilitatea unor construcţii folosind rigla şi compasul au fost încheiate de teoria Galois. Ramurile moderne ale geometriei diferenţiale şi geometriei algebrice abstractizează studiul geometriei în direcţii distincte: geometria diferenţială accentuează uzul sistemului de coordonate şi al direcţiei, pe când geometria algebrică defineşte obiectele mai degrabă ca soluţii la diverse ecuaţii polinomiale. Teoria grupurilor investighează conceptul de simetrie în mod abstract, făcând legătura între studiul structurii şi al spaţiului. Topologia face legătura între studiul spaţiului şi studiul schimbărilor, punând accent pe conceptul continuităţii.

Studiul schimbării este o necesitate mai ales în cazul ştiinţelor naturale, unde măsurarea şi predicţia modificărilor unor variabile este esenţială. Calculul diferenţial a fost creat pentru acest scop, pornind de la definiţia relativ naturală a funcţiilor dintre diverse dimensiuni şi rata lor de schimbare în timp, metodele de rezolvare ale acestora fiind ecuaţiile diferenţiale. Din considerente practice, este convenabil să se folosească numerele complexe în această ramură.

O ramură importantă a matematicii aplicate este statistica, aceasta utilizând teoria probabilităţii care facilitează definirea, analiza şi predicţia a diverse fenomene, şi care este folosită într-o multitudine de domenii.

[modifică] Etimologie

Cuvântul matematică îşi are originea în cuvântul grecesc μάθημα máthēma, care însemna „învăţare”, „studiu”, „ştiinţă”, la rândul lui provenind din verbul manthanein, „a învăţa”.^[1] Termenul mathema a căpătat încă din perioada clasică şi sensul precis de „studiu matematic”. Adjectivul corespunzător este μαθηματικός mathēmatikós, însemnând „legat de învăţare” sau „studios”, iar mai târziu, „matematic”. Din greacă, termenii au fost preluaţi în latină, unde ştiinţele matematice, numite în greceşte μαθηματικὴ τέχνη mathēmatikḗ tékhnē, au fost denumite cu pluralul ars mathematica.

Din latină, termenul mathematica a fost preluat în forme asemănătoare în toate limbile europene moderne. Forma aparentă de plural din engleză, ca şi pluralul franţuzesc les mathématiques, au revenit în latină sub forma pluralului neutru mathematica (Cicero), pornind de la pluralul grecesc τα μαθηματικά ta mathēmatiká, acesta fiind utilizat de Aristotel cu sensul de „toate lucrurile matematice”.

În română, termenul a fost copiat după franţuzescul mathématique şi italienescul matematica.^[2].

[modifică] Istorie

Pentru detalii, vezi: Istoria matematicii.

Euclid

Este posibil ca oamenii să-şi fi dezvoltat anumite abilităţi matematice încă înainte de apariţia scrierii. Cel mai vechi obiect care dovedeşte existenţa unei metode de calcul este osul din Ishango, descoperit de arheologul belgian Jean de Heinzelin de Braucourt în regiunea Ishango din Republica Democrată Congo, care datează din 20.000 înaintea erei noastre^[3]^[4]^[5]. Dezvoltarea matematicii, ca bagaj de cunoştinţe transmis de-a lungul generaţiilor, în primele civilizaţii, este legată strict de aplicaţiile sale concrete: comerţul, gestiunea recoltelor, măsurarea suprafeţelor, predicţia evenimentelor astronomice şi, câteodată, de ritualurile religioase. Aceste nevoi au dus la împărţirea matematicii în ramuri ce se ocupau cu studiul cantităţii, structurii şi spaţiului.

Primele descoperiri matematice ţin de extragerea rădăcinii pătrate, a rădăcinii cubice, rezolvarea unor ecuaţii polinomiale, trigonometrie, fracţii, aritmetica numerelor naturale etc. Acestea au apărut în cadrul civilizaţiilor akkadiene, babyloniene, egiptene, chineze şi civilizaţiile de pe valea Indului.

În Grecia antică, matematica, influenţată de lucrările anterioare şi de specificaţiile filosofice, generează un grad mai mare de abstractizare. Noţiunile de demonstraţie şi de axiomă apar în această perioadă. Apar două ramuri ale matematicii, aritmetica şi geometria. În secolul al III-lea î.Hr., Elementele lui Euclid^[6] rezumă şi pun în ordine cunoştinţele matematice ale Greciei antice.

O pagină a tratatului de la Al-Khawarizmi

Civilizaţia islamică a permis conservarea moştenirii greceşti şi reunirea ei cu descoperirile din China şi India, mai ales în ceea ce priveste sistemele de numeraţie. Domeniile trigonometriei (prin introducerea funcţiilor trigonometrice) şi aritmeticii cunosc o dezvoltare deosebită. De asemenea, în această perioadă sunt inventate combinatorica, analiza numerică şi algebra liniară.

În timpul Renaşterii, o parte din textele arabe sunt studiate şi traduse în latină. Cercetarea matematică se concentrează în Europa. Calculul algebric se dezvoltă ca urmare a lucrărilor lui François Viète şi René Descartes. Newton şi Leibniz au inventat, independent, calculul infinitezimal.

David Hilbert

În secolul al XVIII-lea şi secolul al XIX-lea, matematica cunoaşte o nouă perioadă de dezvoltare intensă, cu studiul sistematic al structurilor algebrice, începând cu grupurile (Évariste Galois) şi inelele (concept introdus de Richard Dedekind).

În secolul al XIX-lea, David Hilbert şi Georg Cantor dezvoltă o teorie axiomatică asupra căutării fundamentelor matematice. Această dezvoltare a axiomaticii va conduce în secolul al XX-lea la definirea întregii matematici cu ajutorul unui singur limbaj: logica matematică.

Secolul XX a fost martorul unei specializări a domeniilor matematicii, naşterea şi dezvoltarea a numeroase ramuri noi, cum ar fi teoria spectrală, topologii algebrice sau geometrie algebrică. Informatica a avut un puternic impact asupra cercetării. Pe de o parte, a facilitat comunicarea între cercetători şi răspândirea descoperirilor, pe de alta, a constituit o unealtă foarte puternică pentru testarea teoriilor.

[modifică] Inspiraţie, matematică pură şi aplicată, estetică

Sir Isaac Newton (1643-1727) la 46 de ani, Inventatorul calculului infinitezimal

În zilele noastre, toate ştiinţele utilizează rezultatele muncii matematicienilor şi multe alte domenii sunt generate de matematica însăşi. De exemplu, fizicianul Richard Feynman, a inventat formularea mecanicii cuantice sub forma integralelor de drum ^[7] folosind o combinaţie între descoperiri de natură matematică, intuiţii fizice şi teoria stringurilor, o teorie ştiinţifică încă în dezvoltare care încearcă să unifice cele 4 forţe fundamentale din natură, continuând să inspire noi ramuri ale matematicii.^[8] Unele ramuri ale matematicii sunt singurele relevante pentru domeniile pe care le-au inspirat şi se aplică în continuare pentru rezolvarea problemelor viitoare. Adeseori însă, matematica inspirată de către un domeniu s-a dovedit utilă în multe altele şi a reunit problematica generală a conceptelor matematice. Faptul remarcabil că chiar şi matematica pură se reflectă în aplicaţii practice este redat de ceea ce Eugene Wigner a numit "eficienţa iraţională a matematicii"^[9]. Ca în multe alte domenii, explozia de cunoştinţe din ştiinţă a dus la specializări în matematică. O diferenţă majoră este între matematica pură şi matematica aplicată: cei mai mulţi matematicieni îşi fac cercetările separat într-unul din aceste domenii iar alegerea finală este făcută odată cu terminarea studiilor. Câteva domenii din matematica aplicată au fuzionat cu domenii care prin tradiţie erau din afara ei şi au devenit astfel discipline noi, cum ar fi statistica, cercetarea operaţională, şi ştiinţa calculatoarelor. Cei care au înclinaţii spre matematică găsesc adesea aspecte estetice în multe domenii din matematică. Mulţi matematicieni vorbesc despre eleganţa matematicii, despre o estetică intrinsecă şi o frumuseţe ascunsă. Sunt apreciate simplitatea şi generalizarea. Se poate vorbi de frumuseţea şi eleganţa unei demonstraţii, cum ar fi cazul demonstraţiei lui Euclid asupra infinităţii numerelor prime, a metodei numerice de calcul rapid ca în cazul transformatei rapide Fourier. G. H. Hardy, în „A Mathematician's Apology” îşi exprima credinţa că aceste consideraţii estetice sunt, în ele însele, suficiente pentru a justifica studiul matematicii pure.^[10] După Paul Erdős, care ar fi vrut să afle „Cartea” în care Dumnezeu a notat demonstraţiile lui favorite, matematicienii năzuiesc adeseori să găsească demonstraţii ale teoremelor care sunt, în special, elegante.^[11] ^[12]) Popularitatea matematicii distractive este un alt indiciu al plăcerii găsite în rezolvarea problemelor de matematică.

[modifică] Limbajul matematic

Matematica foloseşte un limbaj propriu. Anumiţi termeni din limbajul curent, cum ar fi grup, inel sau corp pot avea un înţeles diferit în limbajul matematic. Mai des însă, termenii sunt inventaţi şi introduşi în funcţie de necesităţi: izomorfism, topologie, iteraţie, etc. Numărul relativ mare al termenilor noi sau cu înţeles schimbat face ca înţelegerea matematicilor avansate de către nespecialişti să fie dificilă.

Limbajul matematic se bazează şi pe formule. Acestea conţin anumite simboluri, unele împrumutate din calculul propoziţional, cum ar fi implicaţia logică $\Rightarrow$ sau operatorul pentru negaţie $\neg$ , altele în legătură cu calcul cu predicate (simbolurile pentru „oricare ar fi” $\forall$ şi „există” $\exists$ ). Cea mai mare parte din notaţiile folosite în prezent au fost introduse după secolul al XVI-lea^[13].

Motivul principal pentru care au fost introduse simbolurile şi termenii noi îl reprezintă necesitatea exprimării cât mai exacte a ideilor (o caracteristică comună ştiinţelor exacte, numită rigoare). Rigoarea este necesară pentru a evita teoremele false, generate de intepretări greşite.

Trebuie subliniat faptul că există şi un limbaj matematic (metalimbaj) ce descrie matematica însăşi. Acest limbaj este logica.

[modifică] Matematica privită ca ştiinţă

Carl Friedrich Gauß, pictură de C.A. Jensen … Carl Friedrich Gauß, latinizat Carolo Friderico Gauss, (n.30 aprilie 1777, Braunschweig - d. 23 februarie 1855, Göttingen)

Carl Friedrich Gauss, el însuşi cunoscut ca „prinţ al matematicii”, numea matematica „regină a ştiinţelor”.

În latină – Regina Scientiarum, în germană – Königin der Wissenschaften. Ambele expresii sunt legate de cuvântul „ştiinţă” care înseamnă (domeniu de) cunoştinţe. Într-adevăr, în acest sens, nu există îndoieli că matematica este o ştiinţă. Restrângerea sensului de ştiinţă doar la domenii specializate care studiază natura nu mai este de actualitate. Dacă ar fi considerate ştiinţe doar acele domenii ale cunoaşterii care se ocupă strict de lumea fizică, atunci matematica, sau cel puţin matematica pură, ar trebui să nu fie considerată o ştiinţă. Albert Einstein spunea că „atunci când legile matematicii se referă la realitate, ele nu sunt sigure iar când sunt sigure, ele nu se referă la realitate” (as far as the laws of mathematics refer to reality, they are not certain; and as far as they are certain, they do not refer to reality) ^[14]

Mulţi filozofi cred că, ne putând fi demonstrată experimental, matematica nu poate fi o ştiinţă după definiţia dată de Karl Popper. ^[15] În anii 1930, lucrări importante de logică matematică au arătat că matematica nu poate fi redusă la logică şi Karl Popper a tras concluzia că „cele mai multe teorii matematice sunt, ca şi cele din fizică şi biologie, deductive: ca urmare, matematica pură, în cele din urmă, devine mult mai aproape de ştiinţele naturii ale căror ipoteze sunt presupuneri, aşa cum s-a observat recent”^[16]. Alţi gânditori, printre care Imre Lakatos, au afirmat că matematica însăşi falsifică realitatea.

Un alt punct de vedere ar fi acela că anumite domenii ştiinţifice (cum ar fi fizica teoretică) sunt de fapt ştiinţe matematice cu axiome care corespund realităţii. Cercetătorul în fizică teoretică J. M. Ziman a propus ca ştiinţele să fie considerate cunoştinţe publice iar matematica să fie inclusă între ele. În orice caz, matematica are multe părţi comune cu ştiinţele fizice, folosindu-se de studiul logic al unor ipoteze. Intuiţia şi experimentele au, de asemenea, roluri importante în formularea ipotezelor, atât în matematică, cât şi în (alte) ştiinţe. Matematica experimentală continuă să capete o importanţă tot mai mare între ştiinţele matematice, în acest sens, computerizarea şi simularea jucând roluri tot mai importante în ştiinţe şi în matematică, slăbind astfel obiecţiile potrivit cărora matematica nu ar utiliza metode ştiinţifice.

În 2002, în cartea sa, „A New Kind of Science”, Stephen Wolfram susţinea că matematica computaţională merită să fie explorată empiric, ca orice domeniu ştiinţific cu toate atributele. Opiniile matematicienilor în această privinţă sunt diferite. Mulţi dintre ei cred că a denumi acest domeniu o ştiinţă înseamnă a-i reduce importanţa laturii sale estetice şi a-i denatura istoria sa în cadrul celor 7 (şapte) arte libere; alţii, dimpotrivă, susţin că ignorarea interferenţelor cu ştiinţele înseamnă a vedea cu un singur ochi deoarece aplicaţiile matematicii în ştiinţe şi inginerie au adus multe inovaţii în matematică. Într-un fel, aceste puncte de vedere diferite s-au transformat în dezbateri filosofice: dacă matematica a fost şi este creată (ca în artă) sau descoperită (ca în ştiinţă). A devenit un fapt obişnuit să vezi universităţi care au incluse secţii de Ştiinţă şi Matematică, arătând în acest fel că aceste două domenii sunt privite ca fiind aliate dar nu identice. În practică, matematicile sunt în general grupate cu ştiinţele la nivele grosiere, după care sunt separate pe parcursul specializării. Aceasta este una din chestiunile care fac obiectul filosofiei matematicii.

Premiile în matematică sunt în general ţinute separat de echivalentele lor din ştiinţă. Cel mai prestigios premiu în matematică este Medalia Fields, stabilit în 1936 şi acum acordat odată la 4 (patru) ani. Este adesea considerat, în mod eronat, echivalentul premiilor Nobel pentru ştiinţe. Premiul Wolf pentru Matematică, instituit în 1978, recunoaşte realizările pentru întreaga viaţă iar alt mare premiu internaţional, Premiul Abel ^[17], a fost introdus în 2003. Acestea sunt acordate pentru lucrări speciale, care pot fi inovaţii sau rezolvări ale unor probleme remarcabile dintr-un domeniu anume. O faimoasă listă de 23 de probleme deschise de acest fel, numită „Problemele lui Hilbert”, a fost alcătuită de matematicianul german David Hilbert în 1900. Această listă a devenit celebră printre matematicieni şi în cele din urmă nouă dintre ele au fost rezolvate. O listă nouă, intitulată „Problemele pentru premiul mileniului", a fost publicată în 2000. Soluţionarea fiecăreia dintre ele aduce un premiu de 1 milion de dolari celui care o rezolvă. Numai una dintre ele (Ipoteza lui Riemann) se regăseşte între problemele lui Hilbert.

[modifică] Subiecte

[modifică] Cantitate

Abacul este o metodă simplă de numărare

Studiul cantităţii începe cu numerele (mai întâi cu numerele naturale şi întregi) şi cu operaţiile artimetice. Alte proprietăţi ale întregilor sunt studiate de teoria numerelor, din care au apărut unele rezultate cunoscute, precum Marea teoremă a lui Fermat, dar şi unele teoreme încă nerezolvate: teoria numerelor prime gemene şi Conjectura Goldbach.

Pe măsură ce sistemul de numerotaţie a avansat, numerele întregi au fost considerate un subset al numerelor raţionale, care la rândul său sunt conţinute de mulţimea numerele reale. Numerele reale sunt folosite la reprezentarea funcţiilor continue. Mai departe avem numerele complexe, urmate de numere hipercomplexe: cuaternion, octonion, etc.

Un alt domeniu de studiu este dimensiunea mulţimilor, care conduce la numerele cardinale şi spre un alt concept legat de infinit: numerele alef, care permit o comparaţie între mulţimi de dimensiune infinită.

$0, 1, 2, \ldots$	$-1, 0, 1, \ldots$	$\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, 0.125\ldots$	$\pi, e, \sqrt{2},\ldots$	$i, 1+3i, e^{i\pi/3},\ldots$
Număr natural	Număr întreg	Număr raţional	Număr real	Număr complex

[modifică] Spaţiu

Studiul spaţiului a început cu studiul geometriei, mai exact, al geometriei euclidiene. Trigonometria combină spaţiul şi numerele şi cuprinde cunoscuta teoremă a lui Pitagora. Studiile moderne generalizează teoriile asupra spaţiului introducând noţiunea de geometrie neeuclidiană în locul celei de geometrie euclidiană. Geometria neeuclidiană ocupă un rol central în teoria relativităţii generalizate şi topologie. Cantitatea şi spaţiul au roluri importante în geometria analitică, geometrie diferenţială şi geometrie algebrică. În cadrul geometriei diferenţiale apar conceptele de „fascicul de mătase” ([2]fiber bundle) şi calculul spaţiilor topologice. Geometria algebrică descrie obiectele geometrice prin intermediul unor seturi de soluţii ale ecuaţiilor polinomiale, combinând conceptele de cantitate, spaţiu şi studiul grupurilor topologice, acestea combinând noţiunile de structură şi spaţiu. Grupurile Lie sunt folosite în studiul spaţiului, structurii şi schimbării. Topologia are foarte multe ramificaţii şi a fost domeniul din matematică cu cea mai mare dezvoltare în secolul XX, cuprinzând faimoasa conjectură a lui Poicaré şi controversata teoremă a celor patru culori, a cărei demonstraţie, făcută doar pe calculator, nu a fost făcută încă de om.


Teorema lui Pitagora	Trigonometrie	Geometrie diferenţială	Topologie	Geometrie fractală

[modifică] Schimbare

Subiecte legate de variaţia funcţiilor matematice sau de variaţia numerelor.


Calcul integral	Calcul vectorial	Ecuaţii diferenţiale	Sisteme dinamice	Teoria haosului

[modifică] Structură

Multe obiecte matematice, precum mulţimile de numere şi funcţiile au o structură internă. Proprietăţile structurale ale acestor obiecte sunt investigate în studiul grupurilor, inelelor, câmpurilor şi altor sisteme abstracte, care sunt la rândul lor studiate de algebra abstractă. Un concept important în acest domeniu este cel de vector, generalizat în spaţii vectoriale. Studiul vectorilor combină trei zone fundamentale ale matematicii: cantitatea, structura şi spaţiul. Algebra vectorială dezvoltă cercetarea într-o a patra zonă de cercetare fundamentală, cea a schimbării. Un număr de probleme vechi din acest domeniu au fost rezolvate folosind teoria Galois.