Matematică
 | Portal Matematică |
Matematica este în general definită ca ştiinţa ce studiază relaţiile cantitative, modelele de structură, schimbare şi spaţiu. În sens modern, matematica este investigarea structurilor abstracte definite în mod axiomatic folosind logica formală.
Structurile anume investigate de matematică îşi au deseori rădăcinile în ştiinţele naturale, cel mai ades în fizică. Matematica defineşte şi investighează şi structuri şi teorii proprii, în special pentru a sintetiza şi unifica multiple câmpuri matematice sub o teorie unică, o metodă ce facilitează în general metode generice de calcul. Ocazional, matematicienii studiază unele domenii ale matematicii strict pentru interesul abstract exercitat de acestea, ceea ce le transformă într-o abordare mai degrabă legată de artă decât de ştiinţă.
Din punct de vedere istoric, ramurile majore ale matematicii au derivat din necesitatea de a face calcule comerciale, de a măsura terenuri şi de a predetermina evenimente astronomice cu scopuri agriculturale. Aceste domenii specifice pot fi folosite pentru a delimita în mod generic tendinţele matematicii până în ziua de astăzi, în sensul delimitării a trei tendinţe specifice: studiul structurii, spaţiului şi al schimbărilor.
Studiul structurii se bazează în mod generic pe teoria numerelor: iniţial studiul numerelor naturale, numere pare, numere impare apoi numere întregi, continuând cu numere raţionale şi în sfârşit numere reale, întotdeauna corelate cu operaţiile aritmetice între acestea, toate acestea făcând parte din algebra elementară. Investigarea în profunzime a acestor teorii şi abstractizarea lor a dus în final la algebra abstractă care studiază printre altele inele şi corpuri, structuri care generalizează proprietăţile numerelor în sensul obişnuit. Conceptul indispensabil în fizică de vector, generalizat în sensul de spaţiu vectorial şi studiat în algebra lineară este comun studiului structurii şi studiului spaţiului.
Studiul spaţiului porneşte în mod natural de la geometrie, începând de la geometria euclidiană şi trigonometria familiară în trei dimensiuni şi generalizată apoi la geometrie neeuclidiană, care joacă un rol esenţial în teoria relativităţii. O mulţime de teorii legate de posibilitatea unor construcţii folosind rigla şi compasul au fost încheiate de teoria Galois. Ramurile moderne ale geometriei diferenţiale şi geometriei algebrice abstractizează studiul geometriei în direcţii distincte: geometria diferenţială accentuează uzul sistemului de coordonate şi al direcţiei, pe când geometria algebrică defineşte obiectele mai degrabă ca soluţii la diverse ecuaţii polinomiale. Teoria grupurilor investighează conceptul de simetrie în mod abstract, făcând legătura între studiul structurii şi al spaţiului. Topologia face legătura între studiul spaţiului şi studiul schimbărilor, punând accent pe conceptul continuităţii.
Studiul schimbării este o necesitate mai ales în cazul ştiinţelor naturale, unde măsurarea şi predicţia modificărilor unor variabile este esenţială. Calculul diferenţial a fost creat pentru acest scop, pornind de la definiţia relativ naturală a funcţiilor dintre diverse dimensiuni şi rata lor de schimbare în timp, metodele de rezolvare ale acestora fiind ecuaţiile diferenţiale. Din considerente practice, este convenabil să se folosească numerele complexe în această ramură.
O ramură importantă a matematicii aplicate este statistica, aceasta utilizând teoria probabilităţii care facilitează definirea, analiza şi predicţia a diverse fenomene, şi care este folosită într-o multitudine de domenii.
Cuprins[ascunde] |
[modifică] Etimologie
Cuvântul matematică îşi are originea în cuvântul grecesc μάθημα máthēma, care însemna „învăţare”, „studiu”, „ştiinţă”, la rândul lui provenind din verbul manthanein, „a învăţa”.[1] Termenul mathema a căpătat încă din perioada clasică şi sensul precis de „studiu matematic”. Adjectivul corespunzător este μαθηματικός mathēmatikós, însemnând „legat de învăţare” sau „studios”, iar mai târziu, „matematic”. Din greacă, termenii au fost preluaţi în latină, unde ştiinţele matematice, numite în greceşte μαθηματικὴ τέχνη mathēmatikḗ tékhnē, au fost denumite cu pluralul ars mathematica.
Din latină, termenul mathematica a fost preluat în forme asemănătoare în toate limbile europene moderne. Forma aparentă de plural din engleză, ca şi pluralul franţuzesc les mathématiques, au revenit în latină sub forma pluralului neutru mathematica (Cicero), pornind de la pluralul grecesc τα μαθηματικά ta mathēmatiká, acesta fiind utilizat de Aristotel cu sensul de „toate lucrurile matematice”.
În română, termenul a fost copiat după franţuzescul mathématique şi italienescul matematica.[2].
[modifică] Istorie
Este posibil ca oamenii să-şi fi dezvoltat anumite abilităţi matematice încă înainte de apariţia scrierii. Cel mai vechi obiect care dovedeşte existenţa unei metode de calcul este osul din Ishango, descoperit de arheologul belgian Jean de Heinzelin de Braucourt în regiunea Ishango din Republica Democrată Congo, care datează din 20.000 înaintea erei noastre[3][4][5]. Dezvoltarea matematicii, ca bagaj de cunoştinţe transmis de-a lungul generaţiilor, în primele civilizaţii, este legată strict de aplicaţiile sale concrete: comerţul, gestiunea recoltelor, măsurarea suprafeţelor, predicţia evenimentelor astronomice şi, câteodată, de ritualurile religioase. Aceste nevoi au dus la împărţirea matematicii în ramuri ce se ocupau cu studiul cantităţii, structurii şi spaţiului.
Primele descoperiri matematice ţin de extragerea rădăcinii pătrate, a rădăcinii cubice, rezolvarea unor ecuaţii polinomiale, trigonometrie, fracţii, aritmetica numerelor naturale etc. Acestea au apărut în cadrul civilizaţiilor akkadiene, babyloniene, egiptene, chineze şi civilizaţiile de pe valea Indului.
În Grecia antică, matematica, influenţată de lucrările anterioare şi de specificaţiile filosofice, generează un grad mai mare de abstractizare. Noţiunile de demonstraţie şi de axiomă apar în această perioadă. Apar două ramuri ale matematicii, aritmetica şi geometria. În secolul al III-lea î.Hr., Elementele lui Euclid[6] rezumă şi pun în ordine cunoştinţele matematice ale Greciei antice.
Civilizaţia islamică a permis conservarea moştenirii greceşti şi reunirea ei cu descoperirile din China şi India, mai ales în ceea ce priveste sistemele de numeraţie. Domeniile trigonometriei (prin introducerea funcţiilor trigonometrice) şi aritmeticii cunosc o dezvoltare deosebită. De asemenea, în această perioadă sunt inventate combinatorica, analiza numerică şi algebra liniară.
În timpul Renaşterii, o parte din textele arabe sunt studiate şi traduse în latină. Cercetarea matematică se concentrează în Europa. Calculul algebric se dezvoltă ca urmare a lucrărilor lui François Viète şi René Descartes. Newton şi Leibniz au inventat, independent, calculul infinitezimal.
În secolul al XVIII-lea şi secolul al XIX-lea, matematica cunoaşte o nouă perioadă de dezvoltare intensă, cu studiul sistematic al structurilor algebrice, începând cu grupurile (Évariste Galois) şi inelele (concept introdus de Richard Dedekind).
În secolul al XIX-lea, David Hilbert şi Georg Cantor dezvoltă o teorie axiomatică asupra căutării fundamentelor matematice. Această dezvoltare a axiomaticii va conduce în secolul al XX-lea la definirea întregii matematici cu ajutorul unui singur limbaj: logica matematică.
Secolul XX a fost martorul unei specializări a domeniilor matematicii, naşterea şi dezvoltarea a numeroase ramuri noi, cum ar fi teoria spectrală, topologii algebrice sau geometrie algebrică. Informatica a avut un puternic impact asupra cercetării. Pe de o parte, a facilitat comunicarea între cercetători şi răspândirea descoperirilor, pe de alta, a constituit o unealtă foarte puternică pentru testarea teoriilor.
[modifică] Inspiraţie, matematică pură şi aplicată, estetică
În zilele noastre, toate ştiinţele utilizează rezultatele muncii matematicienilor şi multe alte domenii sunt generate de matematica însăşi. De exemplu, fizicianul Richard Feynman, a inventat formularea mecanicii cuantice sub forma integralelor de drum [7] folosind o combinaţie între descoperiri de natură matematică, intuiţii fizice şi teoria stringurilor, o teorie ştiinţifică încă în dezvoltare care încearcă să unifice cele 4 forţe fundamentale din natură, continuând să inspire noi ramuri ale matematicii.[8] Unele ramuri ale matematicii sunt singurele relevante pentru domeniile pe care le-au inspirat şi se aplică în continuare pentru rezolvarea problemelor viitoare. Adeseori însă, matematica inspirată de către un domeniu s-a dovedit utilă în multe altele şi a reunit problematica generală a conceptelor matematice. Faptul remarcabil că chiar şi matematica pură se reflectă în aplicaţii practice este redat de ceea ce Eugene Wigner a numit "eficienţa iraţională a matematicii"[9]. Ca în multe alte domenii, explozia de cunoştinţe din ştiinţă a dus la specializări în matematică. O diferenţă majoră este între matematica pură şi matematica aplicată: cei mai mulţi matematicieni îşi fac cercetările separat într-unul din aceste domenii iar alegerea finală este făcută odată cu terminarea studiilor. Câteva domenii din matematica aplicată au fuzionat cu domenii care prin tradiţie erau din afara ei şi au devenit astfel discipline noi, cum ar fi statistica, cercetarea operaţională, şi ştiinţa calculatoarelor. Cei care au înclinaţii spre matematică găsesc adesea aspecte estetice în multe domenii din matematică. Mulţi matematicieni vorbesc despre eleganţa matematicii, despre o estetică intrinsecă şi o frumuseţe ascunsă. Sunt apreciate simplitatea şi generalizarea. Se poate vorbi de frumuseţea şi eleganţa unei demonstraţii, cum ar fi cazul demonstraţiei lui Euclid asupra infinităţii numerelor prime, a metodei numerice de calcul rapid ca în cazul transformatei rapide Fourier. G. H. Hardy, în „A Mathematician's Apology” îşi exprima credinţa că aceste consideraţii estetice sunt, în ele însele, suficiente pentru a justifica studiul matematicii pure.[10] După Paul Erdős, care ar fi vrut să afle „Cartea” în care Dumnezeu a notat demonstraţiile lui favorite, matematicienii năzuiesc adeseori să găsească demonstraţii ale teoremelor care sunt, în special, elegante.[11] [12]) Popularitatea matematicii distractive este un alt indiciu al plăcerii găsite în rezolvarea problemelor de matematică.
[modifică] Limbajul matematic
Matematica foloseşte un limbaj propriu. Anumiţi termeni din limbajul curent, cum ar fi grup, inel sau corp pot avea un înţeles diferit în limbajul matematic. Mai des însă, termenii sunt inventaţi şi introduşi în funcţie de necesităţi: izomorfism, topologie, iteraţie, etc. Numărul relativ mare al termenilor noi sau cu înţeles schimbat face ca înţelegerea matematicilor avansate de către nespecialişti să fie dificilă.
Limbajul matematic se bazează şi pe formule. Acestea conţin anumite simboluri, unele împrumutate din calculul propoziţional, cum ar fi implicaţia logică
sau operatorul pentru negaţie
, altele în legătură cu calcul cu predicate (simbolurile pentru „oricare ar fi” 
şi „există” 
). Cea mai mare parte din notaţiile folosite în prezent au fost introduse după secolul al XVI-lea[13].
Motivul principal pentru care au fost introduse simbolurile şi termenii noi îl reprezintă necesitatea exprimării cât mai exacte a ideilor (o caracteristică comună ştiinţelor exacte, numită rigoare). Rigoarea este necesară pentru a evita teoremele false, generate de intepretări greşite.
Trebuie subliniat faptul că există şi un limbaj matematic (metalimbaj) ce descrie matematica însăşi. Acest limbaj este logica.
[modifică] Matematica privită ca ştiinţă
Carl Friedrich Gauss, el însuşi cunoscut ca „prinţ al matematicii”, numea matematica „regină a ştiinţelor”.
În latină – Regina Scientiarum, în germană – Königin der Wissenschaften. Ambele expresii sunt legate de cuvântul „ştiinţă” care înseamnă (domeniu de) cunoştinţe. Într-adevăr, în acest sens, nu există îndoieli că matematica este o ştiinţă. Restrângerea sensului de ştiinţă doar la domenii specializate care studiază natura nu mai este de actualitate. Dacă ar fi considerate ştiinţe doar acele domenii ale cunoaşterii care se ocupă strict de lumea fizică, atunci matematica, sau cel puţin matematica pură, ar trebui să nu fie considerată o ştiinţă. Albert Einstein spunea că „atunci când legile matematicii se referă la realitate, ele nu sunt sigure iar când sunt sigure, ele nu se referă la realitate” (as far as the laws of mathematics refer to reality, they are not certain; and as far as they are certain, they do not refer to reality) [14]
Mulţi filozofi cred că, ne putând fi demonstrată experimental, matematica nu poate fi o ştiinţă după definiţia dată de Karl Popper. [15] În anii 1930, lucrări importante de logică matematică au arătat că matematica nu poate fi redusă la logică şi Karl Popper a tras concluzia că „cele mai multe teorii matematice sunt, ca şi cele din fizică şi biologie, deductive: ca urmare, matematica pură, în cele din urmă, devine mult mai aproape de ştiinţele naturii ale căror ipoteze sunt presupuneri, aşa cum s-a observat recent”[16]. Alţi gânditori, printre care Imre Lakatos, au afirmat că matematica însăşi falsifică realitatea.
Un alt punct de vedere ar fi acela că anumite domenii ştiinţifice (cum ar fi fizica teoretică) sunt de fapt ştiinţe matematice cu axiome care corespund realităţii. Cercetătorul în fizică teoretică J. M. Ziman a propus ca ştiinţele să fie considerate cunoştinţe publice iar matematica să fie inclusă între ele. În orice caz, matematica are multe părţi comune cu ştiinţele fizice, folosindu-se de studiul logic al unor ipoteze. Intuiţia şi experimentele au, de asemenea, roluri importante în formularea ipotezelor, atât în matematică, cât şi în (alte) ştiinţe. Matematica experimentală continuă să capete o importanţă tot mai mare între ştiinţele matematice, în acest sens, computerizarea şi simularea jucând roluri tot mai importante în ştiinţe şi în matematică, slăbind astfel obiecţiile potrivit cărora matematica nu ar utiliza metode ştiinţifice.
În 2002, în cartea sa, „A New Kind of Science”, Stephen Wolfram susţinea că matematica computaţională merită să fie explorată empiric, ca orice domeniu ştiinţific cu toate atributele. Opiniile matematicienilor în această privinţă sunt diferite. Mulţi dintre ei cred că a denumi acest domeniu o ştiinţă înseamnă a-i reduce importanţa laturii sale estetice şi a-i denatura istoria sa în cadrul celor 7 (şapte) arte libere; alţii, dimpotrivă, susţin că ignorarea interferenţelor cu ştiinţele înseamnă a vedea cu un singur ochi deoarece aplicaţiile matematicii în ştiinţe şi inginerie au adus multe inovaţii în matematică. Într-un fel, aceste puncte de vedere diferite s-au transformat în dezbateri filosofice: dacă matematica a fost şi este creată (ca în artă) sau descoperită (ca în ştiinţă). A devenit un fapt obişnuit să vezi universităţi care au incluse secţii de Ştiinţă şi Matematică, arătând în acest fel că aceste două domenii sunt privite ca fiind aliate dar nu identice. În practică, matematicile sunt în general grupate cu ştiinţele la nivele grosiere, după care sunt separate pe parcursul specializării. Aceasta este una din chestiunile care fac obiectul filosofiei matematicii.
Premiile în matematică sunt în general ţinute separat de echivalentele lor din ştiinţă. Cel mai prestigios premiu în matematică este Medalia Fields, stabilit în 1936 şi acum acordat odată la 4 (patru) ani. Este adesea considerat, în mod eronat, echivalentul premiilor Nobel pentru ştiinţe. Premiul Wolf pentru Matematică, instituit în 1978, recunoaşte realizările pentru întreaga viaţă iar alt mare premiu internaţional, Premiul Abel [17], a fost introdus în 2003. Acestea sunt acordate pentru lucrări speciale, care pot fi inovaţii sau rezolvări ale unor probleme remarcabile dintr-un domeniu anume. O faimoasă listă de 23 de probleme deschise de acest fel, numită „Problemele lui Hilbert”, a fost alcătuită de matematicianul german David Hilbert în 1900. Această listă a devenit celebră printre matematicieni şi în cele din urmă nouă dintre ele au fost rezolvate. O listă nouă, intitulată „Problemele pentru premiul mileniului", a fost publicată în 2000. Soluţionarea fiecăreia dintre ele aduce un premiu de 1 milion de dolari celui care o rezolvă. Numai una dintre ele (Ipoteza lui Riemann) se regăseşte între problemele lui Hilbert.
[modifică] Subiecte
[modifică] Cantitate
Studiul cantităţii începe cu numerele (mai întâi cu numerele naturale şi întregi) şi cu operaţiile artimetice. Alte proprietăţi ale întregilor sunt studiate de teoria numerelor, din care au apărut unele rezultate cunoscute, precum Marea teoremă a lui Fermat, dar şi unele teoreme încă nerezolvate: teoria numerelor prime gemene şi Conjectura Goldbach.
Pe măsură ce sistemul de numerotaţie a avansat, numerele întregi au fost considerate un subset al numerelor raţionale, care la rândul său sunt conţinute de mulţimea numerele reale. Numerele reale sunt folosite la reprezentarea funcţiilor continue. Mai departe avem numerele complexe, urmate de numere hipercomplexe: cuaternion, octonion, etc.
Un alt domeniu de studiu este dimensiunea mulţimilor, care conduce la numerele cardinale şi spre un alt concept legat de infinit: numerele alef, care permit o comparaţie între mulţimi de dimensiune infinită.
[modifică] Spaţiu
Studiul spaţiului a început cu studiul geometriei, mai exact, al geometriei euclidiene. Trigonometria combină spaţiul şi numerele şi cuprinde cunoscuta teoremă a lui Pitagora. Studiile moderne generalizează teoriile asupra spaţiului introducând noţiunea de geometrie neeuclidiană în locul celei de geometrie euclidiană. Geometria neeuclidiană ocupă un rol central în teoria relativităţii generalizate şi topologie. Cantitatea şi spaţiul au roluri importante în geometria analitică, geometrie diferenţială şi geometrie algebrică. În cadrul geometriei diferenţiale apar conceptele de „fascicul de mătase” ([2]fiber bundle) şi calculul spaţiilor topologice. Geometria algebrică descrie obiectele geometrice prin intermediul unor seturi de soluţii ale ecuaţiilor polinomiale, combinând conceptele de cantitate, spaţiu şi studiul grupurilor topologice, acestea combinând noţiunile de structură şi spaţiu. Grupurile Lie sunt folosite în studiul spaţiului, structurii şi schimbării. Topologia are foarte multe ramificaţii şi a fost domeniul din matematică cu cea mai mare dezvoltare în secolul XX, cuprinzând faimoasa conjectură a lui Poicaré şi controversata teoremă a celor patru culori, a cărei demonstraţie, făcută doar pe calculator, nu a fost făcută încă de om.
 |  |  |  |  |
| Teorema lui Pitagora | Trigonometrie | Geometrie diferenţială | Topologie | Geometrie fractală |
[modifică] Schimbare
Subiecte legate de variaţia funcţiilor matematice sau de variaţia numerelor.
 |  |  |  |  |
| Calcul integral | Calcul vectorial | Ecuaţii diferenţiale | Sisteme dinamice | Teoria haosului |
[modifică] Structură
Multe obiecte matematice, precum mulţimile de numere şi funcţiile au o structură internă. Proprietăţile structurale ale acestor obiecte sunt investigate în studiul grupurilor, inelelor, câmpurilor şi altor sisteme abstracte, care sunt la rândul lor studiate de algebra abstractă. Un concept important în acest domeniu este cel de vector, generalizat în spaţii vectoriale. Studiul vectorilor combină trei zone fundamentale ale matematicii: cantitatea, structura şi spaţiul. Algebra vectorială dezvoltă cercetarea într-o a patra zonă de cercetare fundamentală, cea a schimbării. Un număr de probleme vechi din acest domeniu au fost rezolvate folosind teoria Galois.
[modifică] Fundamente şi metode
[modifică] Matematici discrete
[modifică] Matematici aplicate
- Mecanică – Analiză numerică – Lingvistica matematică – Optimizare – Poetica matematică– Probabilitate – Statistică – Teoria jocurilor – Biologie matematică – Criptografie – Teoria informaţiei – Dinamica fluidelor
[modifică] Relaţii spaţiale
- Topologie – Geometrie – Trigonometrie – Geometrie algebrică – Geometrie diferenţială – Topologie diferenţială – Topologie algebrică – Algebră liniară – Geometria fractalilor
[modifică] Teoreme şi postulate celebre
- Axioma paralelelor – Teorema lui Pitagora – Cuadratura cercului – Dublarea cubului – Marea teoremă a lui Fermat – Conjectura lui Goldbach – Teorema de incompletitudine a lui Gödel – Conjectura lui Poincaré – Teorema celor patru culori – Lema lui Zorn – Identitatea lui Euler – Conjectura lui Scholz – Teza Church-Turing
[modifică] Teoreme şi conjecturi importante
Vezi şi Listă de teoreme; Listă de conjecturi.
- Ipoteza lui Riemann – Teorema lui Pitagora – Teorema limită centrală – Teorema Gauss-Bonnet – Teorema de factorialitate a lui Gauss
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu